贝尔纲定理点集拓扑学泛函分析中的一个重要的工具。这个定理有两种形式,每一个都给出了拓扑空间贝尔空间充分条件

该定理由勒内-路易·贝尔在他1899年的博士论文中证明。[1]

定理的陈述

一个贝尔空间是一个拓扑空间,具有以下性质:对于任意可数个稠密集Un,它们的交集∩ Un都是稠密的。

注意从以上任何一个命题都不能推出另一个,因为存在一个不是局部紧的完备度量空间(带有定义如下的度量的无理数),也存在一个不可度量化的局部紧豪斯多夫空间(不可数福特空间)。参见以下文献中的Steen and Seebach

  • BCT3)一个非空的完备度量空间不是可数个无处稠密集(也就是闭包具有稠密补集的集合)的并集。

这个表述是BCT1的一个结果,有时更加有用。另外,如果一个非空的完备度量空间是可数个闭集的并集,那么其中一个闭集具有非空的内部。

与选择公理的关系

BCT1BCT2的证明需要选择公理的某种形式;实际上,BCT1与选择公理的一个较弱的版本——相依选择公理等价。[2]

定理的应用

BCT1可以用来证明开映射定理闭图像定理一致有界原理

BCT1也表明每一个没有孤立点的完备度量空间都是不可数的。(如果X是一个可数的完备度量空间且没有孤立点,那么在X中每一个单元素集合都是无处稠密的,因此X在它本身内是第一纲)。特别地,这证明了所有实数所组成的集合是不可数的。

BCT1表明以下每一个都是贝尔空间:

  • 实数空间R
  • 无理数,其度量定义为d(x, y) = 1 / (n + 1),其中n是使xy连分数展开式不同的第一个指标(这是一个完备度量空间);
  • 康托尔集

根据BCT2,每一个流形都是贝尔空间,因为它是局部紧空间,也是豪斯多夫空间。这甚至对非仿紧(因此不可度量化)的流形如长直线也是成立的。

证明

以下是完备度量空间是贝尔空间的一个标准的证明。

为一个开稠密子集的集合。我们希望证明交集是稠密的。为此,设为一个开子集。根据稠密性,存在,使得:

递归地,我们求出,使得:

而且

由于当时,,因此柯西序列,且收敛于某个极限。对于任何,根据封闭性,有:

因此,对于所有,都有

注释

  1. ^ R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
  2. ^ [1]

参考文献

  • R. Baire. Sur les fonctions de variables réelles. Ann. di Mat., 3:1–123, 1899.
  • Blair, Charles E. (1977), "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices.", Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., v. 25 n. 10, pp. 933–934.
  • Levy, Azriel (1979), Basic Set Theory. Reprinted by Dover, 2002. ISBN 0-486-42079-5
  • Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-12-622760-8
  • Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).