广义的组合数学(英语:Combinatorics)就是离散数学,狭义的组合数学组合计数图论代数结构数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之,组合数学是一门研究可数或离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展,组合数学的重要性也日渐凸显,因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态(也称组合模型)的存在、计数以及构造等方面的问题。 组合数学的主要内容有组合计数组合设计组合矩阵组合优化最佳组合)等。

历史

An example of change ringing (with six bells), one of the earliest nontrivial results in graph theory.

最基本的组合数学的思想和枚举的方法在古老时代就已经出现。公元前6世纪的古印度外科医生妙闻已经指出可以由6个相异的味道组合出63种相异的结果(每个味道都可以选择或不选择,但不能都不选择,因此有26 − 1=63种组合);罗马时代希腊史家普鲁塔克克律西波斯喜帕恰斯讨论了后来显示与Schröder–Hipparchus数英语Schröder–Hipparchus number有关的枚举问题[1][2];公元前3世纪的阿基米德在其数学文章Ostomachion英语Ostomachion中考虑了一个拼接拼图的智力游戏(tiling puzzle)。

中世纪时,组合数学持续发展(主要是在欧洲外的文明)。公元850年的印度数学家Mahāvīra英语Mahāvīra (mathematician)提供了关于排列数与组合的公式[3][4],甚至可能早在6世纪印度的数学家就对这些公式熟悉[5] 。公元1140年哲学家天文学家阿伯拉罕·伊本·埃兹拉确认了二项式系数的对称性,而二项式系数公式则是由犹太人数学家Gersonides在公元1321年得到的[6]杨辉三角形最早可追溯至10世纪的数学论文,在中国则首现于13世纪南宋杨辉的《详解九章算法》。在英格兰,则出现一些与哈密顿回路相关的例子[7]

文艺复兴时期,与其他数学或科学领域一样,组合数学再现生机。帕斯卡牛顿雅各布·白努利欧拉等人的研究为此新兴领域打下基础。在更近代时,西尔维斯特MacMahon英语Percy Alexander MacMahon也对组合计数代数组合学作出贡献。人们此时也对图论有高度的兴趣,例如关于四色问题的领域。

在20世纪下半叶,组合数学成长相当快速,甚至出现数十种新的期刊和会议[8]。 在某种程度上,这样的成长是由对其他领域的连结与应用所带动,包括代数几率论泛函分析数论等。

组合数学中的著名问题

  • 计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。这些是关于排列组合整数分拆的。
  • 地图着色问题:对世界地图着色,每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异,是否总共只需四种颜色?这是图论的问题。
  • 船夫过河问题:船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场,羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河?这是线性规划的问题。
  • 中国邮差问题:由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次,怎样行走走过的路程最短?这不是一个NP完全问题,存在多项式复杂度算法:先求出度为奇数的点,用匹配算法算出这些点间的连接方式,然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。
  • 任务分配问题(也称分配问题):有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少?这是线性规划的问题。
  • 如何构造幻方幻方为一方阵,填入不重复之自然数,并使其中每一纵列、横列、对角线内数字之总和皆相同。

排列

个元素中取出个元素,个元素的排列数量为:

赛马为例,有8匹马参加比赛,玩家需要在彩票上填入前三胜出的马匹的号码,从8匹马中取出3匹马来排前3名,排列数量为:

因为一共存在336种可能性,因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是:

不过,中国大陆的教科书则是把从n取k的情况记作(A代表Arrangement,即排列[9])。

上面的例子是建立在取出元素不重复出现状况。

个元素中取出个元素,个元素可以重复出现,这排列数量为:

[10]

四星彩为例,10个数字取4个数字,因可能重复所以排列数量为:

这时的一次性添入中奖的概率就应该是:

组合

和排列不同的是,组合取出元素的顺序不考虑。

个元素中取出个元素,个元素的组合数量为:

不过,中国大陆的教科书则是把从n取k的情况记作[11]

六合彩为例。在六合彩中从49颗球中取出6颗球的组合数量为:

如同排列,上面的例子是建立在取出元素不重复出现状况。

个元素中取出个元素,个元素可以重复出现,这组合数量为:

以取色球为例,每种颜色的球有无限多颗,从8种色球中取出5颗球,这组合数量为:

因为组合数量公式特性,重复组合转换成组合有另一种公式为:

另外也可以记为[12]

总结

中取 直线排列
(考虑顺序)
环状排列 组合
(不考虑顺序)
不重复出现
(不放回去)

OEIS中的数列A008279)

OEIS中的数列A111492)

OEIS中的数列A007318)
可重复出现
(再放回去)

OEIS中的数列A004248)

OEIS中的数列A075195)

OEIS中的数列A097805)

参见

参考文献

  1. ^ Stanley, Richard P.; "Hipparchus, Plutarch, Schröder, and Hough", American Mathematical Monthly 104 (1997), no. 4, 344–350.
  2. ^ Habsieger, Laurent; Kazarian, Maxim; and Lando, Sergei; "On the Second Number of Plutarch", American Mathematical Monthly 105 (1998), no. 5, 446.
  3. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Mahavira, MacTutor History of Mathematics archive (英语) 
  4. ^ Puttaswamy, Tumkur K., The Mathematical Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians, (编) Selin, Helaine, Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Netherlands: Kluwer Academic Publishers: 417, 2000, ISBN 978-1-4020-0260-1 
  5. ^ Biggs, Norman L. The Roots of Combinatorics. Historia Mathematica. 1979, 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. 
  6. ^ Maistrov, L.E., Probability Theory: A Historical Sketch, Academic Press: 35, 1974, ISBN 978-1-4832-1863-2 . (Translation from 1967 Russian ed.)
  7. ^ White, Arthur T.; "Ringing the Cosets", American Mathematical Monthly, 94 (1987), no. 8, 721–746; White, Arthur T.; "Fabian Stedman: The First Group Theorist?", American Mathematical Monthly, 103 (1996), no. 9, 771–778.
  8. ^ See Journals in Combinatorics and Graph Theory
  9. ^ 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 10. ISBN 9787107187544. 
  10. ^ 组合数学 ─算法与分析─. 九章出版社. : 29.  OCLC:44527392
  11. ^ 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 16. ISBN 9787107187544. 
  12. ^ 组合数学 ─算法与分析─. 九章出版社. : 33.  OCLC:44527392

外部链接

  • The Combinatorics Net
  • Electronic Journal of Combinatorics
  • 点算的奥秘