积分常数是指在微积分中,函数不定积分表示式中会出现的一个待定常数,一般会用C表示,一函数的反导数有无穷多个,但其中除了积分常数不同外,其余部分均相同[1][2]。积分常数表示在反导数本身有一些模棱两可之处。若针对函数,而的一个反导数,则函数的所有反导数可以用来表示,其中C为任意值。有些积分表为了简单起见,会省略不定积分的积分常数。

简介

任何常数函数的导数均为零,因此只要发现一个函数的反导数,因为,加上或减去一常数C后的函数也是反导数,积分常数可用来表示任何函数均有无限个不同的反导数。

例如,假设需要求得 的反导数,的导数都是,因此都是的反导数。

同一个函数可以有许多的反导数,而这些反导数之间只相差一个常数,因此若要列出 所有的反导数,可以用以下的通式:

C即为积分常数,利用下式可以确认这些函数的确都是的反导数:

若利用线性代数的描述方式,微分算子可将k+1维的向量映射到k维的空间中,因此其反运算(积分)会多一个待确定的条件[3]

积分常数的必要性

积分常数可以设为0,而且利用微积分基本定理计算定积分时,积分常数会互相抵消,积分常数看似没有必要。

不过试图将积分常数设为0的作法不一定合理,例如可以用以二种方式积分:

即使将C设为0,仍然有些积分表示式中会出现常数,也就是说有些函数不存在一种最简单的反导数。

使用积分常数的另一个原因,是有时会需要反导数在特定点为某特定值,就像是初值问题的情形一様。例如要求出的反导数,且x = π时的值为100,此时C只有一个数值才能满足此条件(此例中C = 100)。

上述限制可以用微分方程的形式来描述:求解一个函数的反导数也就是求解微分方程。任何微分方程都有许多的解,每一个解都是一个良态初值问题的唯一解。上一段的问题中x = π时的值为100即为初始条件。每一个初值问题对应一个唯一的C值,若没有积分常数C,许多初值问题就无法求解。

不同反导数之间只差一个常数的原因

原因可以用以下定理来表示:令Let 为二个处处可微的函数。假设对于所有的实数x都成立,则存在一实数C使得对于所有的实数x皆成立。

若要证明此式,由于,因此以下用F-G来代替F,而用常数函数0来代替G,待证明为一个处处可微,导数恒为0的函数一定是常数:

选择一实数a,令。针对任意的x,依照微积分基本定理可得

因此可得,因此F为常数函数。

证明过程中,有二个条件相当重要。首先,实数数线为连通空间,若实数数线不是连通空间,就无法从固定的a点积分到任意的x点。例如一函数只在[0,1]及[2,3]的区间有定义,而a为0,因为函数在1到2之间没有定义,不可能从0积分到3。此时会有二个常数,分别对应定义域中的二个连通空间。一般而言,若将常数改为局部常数函数英语locally constant functions,可以将此定理延伸到不连通的空间中。例如有二个积分常数,而有无限个积分常数。1/x积分的一般式为:[4]

再者,FG的条件需是处处可微的函数,若FG在某一点不可微,则以上定理不成立。例如令单位阶跃函数,在x负值时为0,在x非负时为1,令F在有定义导数的区域,其导数为0,G的导数恒为0,但FG不只差一个常数而已。

甚至假设FG为处处连续,几乎处处可微,则以上定理仍然不成立。康托函数和常数函数0就是这样的例子。

参考资料

  1. ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5. 
  2. ^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. Calculus 9th. Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4. 
  3. ^ Albert Tarantola, "Inverse Problems: Exercices. Chapter 8: The Derivative Operator, its Transpose, and its Inverse", 12 March 2007
  4. ^ "Reader Survey: log|x| + C", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012