粗略的说,矛盾(英语:Contradiction)是在两个或更多陈述、想法或行动之间的不一致,存在差别。

汉语辞源出自《韩非子》中《难一》所述故事:

白话文大意为:有一位卖盾牌和卖矛的楚国人,他夸赞自己卖的盾牌说:“我的盾牌坚固无比,什么东西都无法刺穿它。”又夸赞自己卖的矛说:“我的矛锋利无比,什么东西都可以刺穿。”有人问他说:“用你的矛来试着刺你的盾,将会如何?”那人一句话都无法回答。不能被刺穿的盾牌和能刺穿一切的矛,是不可以同时存在的。

注意在口语和辩证法中,矛盾有着同形式逻辑中完全不同的意义,口语中的矛盾强调矛盾双方的斗争性。

逻辑学上的矛盾

逻辑学上,矛盾自相矛盾抵触(contradiction)被更加特殊化的定义为同时断言一个命题和它的否定。这个想法基于亚里士多德无矛盾律,它声称“你不能同时声称某事物在同一方面既是又不是”。

当我们说命题S与P矛盾时,意思是二者相当于A和非A的关系,也就是S与P不能同时为真、亦不能同时为假。

举例来说:“所有学生都用功”和“有些学生不用功”就是逻辑上矛盾的;另一个例子是“死刑已被废除,对包括谋杀在内的任何罪行使用死刑,是严格禁止的;但为了受害者着想及平衡各方意见,若谋杀受害者家属强烈主张凶手必须以死谢罪,政府有义务协助受害者家属以最快的速度让罪犯接受死亡”,在其中“死刑已被废除”代表的就是“这个国家没有死刑”,而“若谋杀受害者家属强烈主张凶手必须以死谢罪,政府有义务协助受害者家属以最快的速度让罪犯接受死亡”则指向“这个国家有死刑”这点,显然一个国家或地区不可能同时有死刑又没有死刑,这种法律是自相矛盾的。

习惯上说的矛盾其实是指逻辑学上的不一致,矛盾必然不一致,然而不一致不必然矛盾。

利用矛盾的证明

在演绎逻辑和数学中,矛盾通常作为有什么东西错误了的迹象,你需要折回你的推理的步骤并"检查你的前提"。这在数学中的反证法中发挥了巨大的作用:因为矛盾永远不能为真,所以它永远不能是有着全部为真的前提的有效论证的结论。要构造一个利用矛盾的证明,你需要从一组前提构造一个有效的论证,得出是逻辑矛盾的一个结论。因为结论为假,并且论证是有效的,唯一的可能性是一个或多个前提为假。在很多关键的数学证明中使用了这种方法,比如欧几里得对没有最大素数的证明,和康托尔对在0和1之间有不可数个实数的对角线证明

涉及矛盾的悖论

矛盾同许多有名的悖论有关。其中之一是在一阶谓词演算中从矛盾中可以推导出任何命题(也叫陈述)。换句话说,依据谓词演算,不管P和Q意味着什么,如果P和¬P都为真的,则Q为真。在这个事实的表达中,矛盾被称为在一阶逻辑中的"逻辑爆炸"。

例如,下列论证是严格有效的,就是说前提在逻辑上蕴涵结论:

  1. 前提: 5既是偶数又是奇数。(就是在上述公式中的P ∧ ¬P)。
  2. 结论:神存在。(就是Q)。

下面的论证也是有效的:

  1. 前提: 5既是偶数又是奇数。(就是P ∧ ¬P)。
  2. 结论:神不存在。(就是¬Q)。

注意这两个论证共有的前提是错误的;5是奇数而不是偶数。所以这些论证都不是可靠的,这意味着它们都没有为信赖它的结论给出一个逻辑基础。

可能大多数人认为这是怪异的,如果5既是偶数又是奇数,就能够在逻辑上得出明显的不相关的任何事情比如 神的存在性的结论。更加怪异的是,这个悖论还蕴涵了,如果一个人有是矛盾的任何两个信仰,则这个人在逻辑上证实任何可想像到的信仰。

这个悖论的证明

即使谓词演算的基本规则对于好的推理方式都是可靠的,它们在一起就会蕴涵这个悖论。有两个方法证明它。

第一个方法来自合取和蕴涵的真值表定义:

  1. (P ∧ ¬P)为假。
  2. 所以,(P ∧ ¬P) → Q为空虚真理

第二个方法基于真值表的在美学上的缺陷:

  1. 假设P ∧ ¬P。基于这个假定我们可以推导出:
    1. P(合取除去
    2. ¬P(合取除去
    3. 假设¬Q。基于这个假定我们可以推导出:
      1. P (前面的结果)
    4. 所以¬Q → P(条件证明
    5. ¬P → Q(前面一行的逆反命题
    6. Q(肯定前件
  2. 所以 (P ∧ ¬P) → Q(条件证明

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