数学物理学中,潘洛斯图形符号(英语:Penrose graphical notation)或称张量图符号tensor diagram notation)是多线性函数张量的一种图形表示法,由罗杰·潘洛斯所提出。[1]

这样的图有多种几何图案,之间由线段相连。Predrag Cvitanović曾深入研究此方法,将之用在古典李群的分类上。[2]

透过表示论,此方法也被推广至物理学中的自旋网络,以及线性代数矩阵群相关的迹数图英语trace diagram

诠释

多线性代数

张量

矩阵

特殊张量表象

度规张量

度规张量由U形或倒U形的循环所表示,正U或倒U由张量类型决定。

度规张量
度规张量

列维-奇维塔张量

列维-奇维塔反对称张量由粗的水平横杆来表示,其上有朝上或朝下的小棍,由张量类型所决定。

结构常数

李代数的结构常数()由一带有一条朝上线、两条朝下线的小三角形所表示。

结构常数

张量运算

指标缩并

指标进行张量缩并英语Tensor contraction可由指标线相连来表示。

克罗内克δ函数
点积

对称化

指标的对称化由水平穿越指标线的粗锯齿状横杆来表示。

对称化

(其中

反对称化

指标的反对称化是由水平穿越指标线的粗直线来表示。

反对称化

(其中

行列式

行列式透过指标的反对称化而形成。

行列式
逆矩阵

协变导数

协变导数)是由一围绕待运算之张量的圆圈所表示,另有一条朝下的线连接圆圈表示导数的下标。

协变导数

张量操作

图形符号法在张量代数的操作中颇有用处。这些操作通常牵涉到一些与张量有关的恒等式

举例来说,一个常见的恒等式:

其中n是维度。

黎曼曲率张量

使用黎曼曲率张量所描述的里奇恒等式与比安基恒等式,可展示出潘洛斯图形符号的威力。

里奇张量
里奇恒等式
比安基恒等式

扩充

此符号标记法已扩充到旋量扭量的使用。[3][4]

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参考文献

  1. ^ see e.g. Quantum invariants of knots and 3-manifolds" by V. G. Turaev (1994), page 71
  2. ^ Predrag Cvitanović. Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups. Princeton University Press. 2008. 
  3. ^ Penrose, R.; Rindler, W. Spinors and Space-Time: Vol I, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Cambridge University Press. 1984: 424–434. ISBN 0-521-24527-3. 
  4. ^ Penrose, R.; Rindler, W. Spinors and Space-Time: Vol. II, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry. Cambridge University Press. 1986. ISBN 0-521-25267-9. 

外部链接