圆周率近似值随时间的发展


早期历史

中世纪

16至19世纪

20世纪

21世纪

比较不准确的近似值

值得注意的是,一些法律或历史文本欲“定义π”为有理数,尤其是1897年的“印第安纳州法案”,指明“直径和圆周比例为四分之五比4(暗示“π= 3.2”);和希伯来圣经中的一个段落,暗示“π= 3”。

圣经估算的价值

印第安纳州法案

计算圆周率近似值的方程的发展

梅钦类公式(Machin-like formulae)

其他古代公式

现代公式

二进制数位公式

π和一个碎形

多方面的近似值

在古代,人们使用60进制来计算。在60进制中,π能被准确至小数点后八位(十进制),而这数字是3:8:29:4460,即是:

(下一个60进制的数位为0)

除此之外,π的近似值还能以以下方式表示:

  • 准确至3位:
  • 准确至4位:
[1]
  • 准确至4位:
[2]
  • 准确至5位:
  • 准确至7位:
  • 准确至9位:
这是拉马努金提出的,拉马努金说他在梦中收到印度神Namagiri的启示。[3]
  • 准确至10位:
  • 准确至10位:
  • 准确至18位:
[4]
  • 准确至30位:

圆形的面积

可以通过蒙特卡洛方法来计算圆周率

以原点(0, 0)为圆心,画一个半径为的圆。然后以原点为中心,画一个边长为的正方形。圆和正方形内切。

圆的面积为,正方形的面积为

于是有,

通过生成0到r之间随机数作为一个点的横纵坐标,所有点均落在正方形内。

通过统计圆内的点数与总点数

当随时点的数目增加时,所得结果会越接近于圆周率。

但是该方法也有不足之处。具体可参考蒙特卡洛方法

以正多边形来计算π的值

连分数

π连分数表示式是[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]。这连分数没有任何模式。π有很多用一条简单的规矩然制成的广义连分数

(其他连分数能在这里查看。)

三角函数

莱布尼茨公式

反正切

反正弦

萨拉明 - 布伦特公式

计算任意数位的方法

在1995年,西蒙·普劳夫发现了贝利-波尔温-普劳夫公式。这公式能在16进制中计算pi的任意数位,而不用计算之前的数位。[5]

在1996年,西蒙·普劳夫发明了一个公式,能在O(n3log(n)3)的时间之内计算出pi在任意进制的第n个数位[6]。在1997年,法布里斯·贝拉发明了另一个公式,把计算所需时间缩短至O(n2)。他又发明了在2进制计算pi的公式。[7]

有效的方法

在1961年,丹尼尔柄英语Daniel Shanks和他的团队在美国海军研究实验室计算了π的前100,000数位。

他和他的团队使用了两个不同的幂级数来计算π的数值。第一个幂级数中,任何错误都会造成一个比较高的数值;而另一个中,任何错误都会造成一个比较低的数值。所以如果两个幂级数计算出同样的数值,那个数值就肯定正确。美国海军研究实验室发放了π的前100,000数位。

但是以上的两个幂级数也要很长的时间才能计算出结果。相反地,约翰·梅钦英语John Machin的公式与反正切泰勒级数一起使用则能很快地计算结果:

使用复数极坐标系便能证实这公式,以以下的数学式开始:

这类的公式被称为梅钦类公式。(注意,{ x,y} = {239, 132}是佩尔方程x2-2y2 = -1”的其中一个解答。)

印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金发现了π的很多其他表示方式。他与戈弗雷·哈罗德·哈代一起工作了很多年。

如果要计算π小数点后很多位,计算者通常会使用高斯-勒让德算法波尔温公式英语Borwein's algorithm,和1976年发明的萨拉明 - 布伦特公式

π1/π的小数点后首十万位能在古腾堡计划里查阅(参见#外部链接)。

在2002年12月,在东京大学进修的金田康正发放了π小数点后1,241,100,000,000位的值,创造了新的世界记录。他在2002年9月以六十四部日立超级电脑计算出这值。这些电脑有1TB的内存,而且能在每秒执行2兆次运算。上一个记录(21亿位)所使用的电脑每秒只能执行1兆次运算。金田康正使用了以下公式:

K. Takano (1982).
F. C. W. Störmer (1896).

这些近似值由于有太多数位,所以没有实际用途,只是用来测试超级电脑。

在1997年,大卫·贝利(David H. Bailey英语David H. Bailey)、皮特·波尔温英语Peter Borwein西蒙·普劳夫发布了一条新的公式来计算π的值:

这公式能在不知道前k - 1数位的值之下,在2进制16进制中计算出π的第k个数位的值。贝利的网页包含了计算方法,而且把方法以几个编程语言记下。PiHex英语PiHex计算出π小数点后一兆数位的值。

法布里斯·贝拉推出了贝利-波尔温-普劳夫公式的改良版——贝拉公式

还有其他计算π的值的公式:

牛顿
斯里尼瓦瑟·拉马努金

拉马努金的公式收敛的速度异常地快,这公式后来在2000年演变成最快的公式:

David ChudnovskyGregory Chudnovsky.

关于圆周率近似值的计划

计算圆周率近似值的软件

General purpose

大多数计算机代数系统可以计算出π和其他常见的数学常数到任何所需的精度。

计算π的功能中还包括许多通用库任意精度算术运算,例如CLNMPFR

参考资料

  1. ^ A nested radical approximation for pi 互联网档案馆的存档,存档日期2011-07-06.
  2. ^ Gardner, Martin. New Mathematical Diversions. Mathematical Association of America: 92. 1995 .
  3. ^ "Lost notebook page 16" ,Ramanujan
  4. ^ CetinHakimoglu–Brown
  5. ^ MathWorld: BBP Formula Wolfram.com
  6. ^ Simon Plouffe, On the computation of the n'th decimal digit of various transcendental numbers, November 1996
  7. ^ Bellard's Website:Bellard.org