在几何上依据以O为中心的单位圆可以构造角θ的很多三角函数。
三角函数示意图
几个三角函数的图形,分别为正弦、余弦、正切、余切、正割、余割和正矢。配色与上图相同
单位圆的角度

数学中,三角恒等式是对出现的所有值都为实变量,涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分:一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则,则通过三角恒等式可简化结果的积分。

符号

为了避免由于的不同意思所带来的混淆,我们经常用下列两个表格来表示三角函数倒数反函数。在表示余割函数时,''有时会写成比较长的''。

函数 反函数 倒数
全写 简写 全写 简写 全写 简写
sine sin arcsine arcsin cosecant csc
cosine cos arccosine arccos secant sec
tangent tan arctangent arctan cotangent cot
cotangent cot arccotangent arccot tangent tan
secant sec arcsecant arcsec cosine cos
cosecant csc arccosecant arccsc sine sin

不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。

相同角度的转换表
角度单位
角度
弧度
梯度

基本关系

三角函数间的关系

毕达哥拉斯三角恒等式如下:

由上面的平方关系加上三角函数的基本定义,可以导出下面的表格,即每个三角函数都可以用其他五个表达。(严谨地说,所有根号前都应根据实际情况添加正负号)

函数

其他函数的基本关系

正矢余矢半正矢半余矢外正割用于航行。例如半正矢可以计算球体上的两个点之间的距离,但他们不常用。

名称 函数 [1]
正矢, versine

余的正矢, vercosine
余矢, coversine
余的余矢, covercosine
半正矢, haversine
余的半正矢, havercosine
半余矢, hacoversine
cohaversine
余的半余矢, hacovercosine
cohavercosine
外正割,exsecant
外余割,excosecant
, chord
纯虚数指数函数,
cosine and imaginary unit sine
辐角,Argument

对称、移位和周期

通过检视单位圆,可确立三角函数的下列性质:

对称

当三角函数反射自某个特定的值,结果经常是另一个其他三角函数。这导致了下列恒等式:

反射于 反射于 反射于 反射于

移位和周期

通过旋转特定角度移位三角函数,经常可以找到更简单的表达结果的不同的三角函数。例如通过旋转弧度移位函数。因为这些函数的周期要么是要么是,新函数和没有移位的旧函数完全一样。

移位 移位
的周期
移位 移位
, , 的周期

角的和差恒等式

图示正弦与余弦的角和公式,强调的线段是单位长度。
图示正切的角和公式,强调的线段是单位长度。

它们也叫做“和差定理”或“和差公式”。最快的证明方式是欧拉公式

正弦
余弦
正切
余切
正割
余割
注意正负号的对应。


正弦与余弦的无限多项和

这里的""意味着索引遍历集合的大小为的所有子集的集合。

在这两个恒等式中出现了在有限多项中不出现的不对称:在每个乘积中,只有有限多个正弦因子和余有限多个余弦因子。

如果只有有限多项是非零,则在右边只有有限多项是非零,因为正弦因子将变为零,而在每个项中,所有却有限多的余弦因子将是单位一。

正切的有限多项和

,对于。设是变量基本对称多项式。则

项的数目依赖于。例如,

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

多倍角公式

切比雪夫多项式
伸展多项式
棣莫弗定理虚单位

(这个的函数是狄利克雷核。)

二倍角、三倍角和半角公式

这些公式可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明。

二倍角公式
三倍角公式
半角公式

倍角公式

倍角公式

(第二类切比雪夫多项式

(第一类切比雪夫多项式

倍递回公式
。(递回关系)

参见正切半角公式,它也叫做“万能公式”。

其他函数的倍半角公式

正矢
余矢

幂简约公式

从解余弦二倍角公式的第二和第三版本得到。

正弦 余弦 其他


余弦 正弦
如果奇数
如果偶数

数值连乘

[2]
[2]
,,
,,
,,

常见的恒等式

积化和差与和差化积恒等式

数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》给出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

Proof for Sum-to-Product Identities.svg
积化和差
和差化积

平方差公式

其他恒等式

如果
那么
  
如果
那么
  

如果任何一个是直角,则两端都应为无穷大

如果
那么

托勒密定理

如果(半圆)
那么:

(前三个等式是一般情况;第四个是本质。)

三角函数与双曲函数的恒等式

利用三角恒等式的指数定义双曲函数的指数定义即可求出下列恒等式:

所以

下表列出部分的三角函数双曲函数恒等式

三角函数 双曲函数
  • 其他恒等式:

线性组合

对于某些用途,知道同样周期但不同相位移动的正弦波的任何线性组合是有相同周期但不同相位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下,我们有

这里的

更一般的说,对于任何相位移动,我们有

这里

反三角函数

无限乘积公式

为了用于特殊函数,有下列三角函数无穷乘积公式[3][4]

微积分

正弦的微分
正弦(蓝色)、正弦的微分(橘色),其中,正弦的微分正好是余弦。
余弦的微分
余弦(蓝色)、余弦的微分(橘色),其中,余弦的微分正好是正弦的对x轴的镜射。

微积分中,下面陈述的关系要求角用弧度来度量;如果用其他方式比如角度来这些关系会变得更加复杂。如果三角函数以几何的方式来定义,它们的导数可以通过验证两个极限而找到。第一个是:

可以使用单位圆夹挤定理来验证。如果用洛必达法则来证明这个极限,那也就用这个极限证明了正弦的导数是余弦,并因此在应用洛必达法则中使用正弦的导数是余弦的事实,就是逻辑谬论中的循环论证了。第二个极限是:

使用恒等式验证。已经确立了这两个极限,你可以使用导数的极限定义和加法定理来证明。如果正弦和余弦函数用它们的泰勒级数来定义,则导数可以通过幂级数逐项微分得到。

结果的三角函数可以使用上述恒等式和微分规则来做微分。

三角函数积分表中可以找到积分恒等式。

蕴涵

三角函数(正弦和余弦)的微分是同样两个函数线性组合的事实在很多数学领域包括微分方程傅立叶变换中是重要的基本原理。

指数定义

函数 反函数

参见

参考文献

  1. ^ Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147
  2. ^ 2.0 2.1 苏学孟. 求三角函数乘积的常用方法. 中学数学教学. 1995, (6). 
  3. ^ Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90
  4. ^ Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69
  • A one-page proof of many trigonometric identities using Euler's formula,by Connelly Barnes.
  • Useful Formulae for Hong Kong Advanced Level Examination Pure Mathematics.