三角形
Triangle illustration.svg
三角形
3
顶点 3
施莱夫利符号 {3}(正三角形时)
面积 有各种求面积的公式;
见下文
内角 180°(内角和)
Trikotnik.png

三角形,又称三边形,是由三条线段顺次首尾相连,或不共线的三点两两连接,所组成的一个闭合的平面图形,是最基本和最少边的多边形

一般用大写英语字母为三角形的顶点标号;用小写英语字母表示;用标号,又或者以这样的顶点标号来表示。

分类

以角度分类

锐角三角形 钝角三角形 直角三角形
锐角三角形 钝角三角形 直角三角形

锐角三角形

锐角三角形的所有内角均为锐角(即小于90°)。

钝角三角形

钝角三角形是其中一角为钝角(大于90°)的三角形,其余两角均小于90°。

直角三角形

Right triangle.png

有一个角是直角(90°)的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为“直角边”(cathetus),直角所对的边是“斜边”(hypotenuse);或最长的边称为“弦”,底部的一边称作“勾”(又作“句”),另一边称为“股”。斜边乘上斜边上的高=勾股相乘=此直角三角形面积(ch=ab)

直角三角形各边与角度的关系,可以三角比表示。详见三角函数

以边长分类

不等边三角形 等边三角形 等腰三角形
不等边三角形 等边三角形 等腰三角形

不等边三角形

三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形

等边三角形

等边三角形(又称正三角形),为三边相等的三角形。其三个内角相等,均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 ,则其面积公式为

等边三角形是正四面体正八面体正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形

等腰三角形

等腰直角三角形只有一种形状,其中两个角为45度。

等腰三角形是三条中有两条边相等(或是其中两只内角相等)的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为“腰”,而另一条边被称为“底边”,两条腰交叉组成的那个点被称为“顶点”,它们组成的角被称为“顶角”。

等边三角形等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

退化三角形

退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形:三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°);三边其中一条边的长度为0;一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形,这是由于它介乎于三角不等式之间,在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。

勒洛三角形

勒洛三角形(英语:Reuleaux triangle),也译作莱洛三角形或弧三角形,又被称为划粉形[1]或曲边三角形,是除了圆形以外,最简单易懂的勒洛多边形,一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间,使之与这两平行线相切,则可以做到:无论这个曲线图如何运动,只要它还是在这两条平行线内,就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux(英语:Franz Reuleaux)命名。

一般性质

三角不等式

  • 三角边长不等式
三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等,则是退化三角形。
三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

角度

三角形の内角と外角.png
  • 三角形外角
三角形两内角之和,等于第三角的外角。
  • 三角形内角和
在欧几里德平面内,三角形的内角和等于180°。

毕氏定理

勾股定理,又称毕氏定理毕达哥拉斯定理。设直角三角形的其中一边 为斜边,即 的对角 ,则
  • 勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理亦成立,即若三角形满足

正弦定理

为三角形外接圆半径,则

余弦定理

对于任意三角形:
勾股定理是本定理的特殊情况,即当角 时, ,于是 化简为

全等及相似

全等三角形

三角形具有稳定性,若二个三角形有以下的边角关系确定后,它的形状、大小就不会改变,二个三角形即为全等三角形

  • SSS(Side-Side-Side,边、边、边):各三角形的三条边的长度都对应地相等。
  • SAS(Side-Angle-Side,边、角、边):各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等。
  • ASA(Angle-Side-Angle,角、边、角):各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等。
  • RHS(Right Angle-Hypotenuse-Side,直角、斜边、边):在直角三角形中,斜边及另外一条直角边对应地相等。[1]
  • AAS(Angle-Angle-Side,角、角、边):各三角形的其中两个角都对应地相等,且其中一组对应角的对边也对应地相等。

注意,SSA(Side-Side-Angle、边、边、角)不能保证两个三角形全等,除非该角大于等于90°。

相似三角形

  • AA(Angle-Angle,角、角):各三角形的其中两个角的都对应地相等。(或称AAA(Angle-Angle-Angle,角、角、角))
  • 三边成比例(3 sides proportional):各三角形的三条边的长度都成同一比例。
  • 两边成比例且夹角相等(ratio of 2 sides, inc.∠):各三角形的两条边之长度都成同一比例,且两条边之夹角都对应地相等。

特殊线段

三角形中有着一些特殊线段,是三角形研究的重要对象。

  • 中线(median):三角形一边中点与这边所对顶点的连线段。
  • 高线(altitude):从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
  • 角平分线(angle bisector):平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
  • 垂直平分线(perpendicular bisector):通过三角形一边中点与该边所垂直的线段,又称中垂线。

以上特殊线段,每个三角形均有三条,且三线共点。

中线长度

设在中,若三边的中线分别为,则:

高线长度

设在中,连接三个顶点上的高分别记作,则:

其中

角平分线长度

设在中,若三个角的角平分线分别为,则:

三角形的心

三角形的内心(家玮心)外心(梁玮心)垂心(梁家心)形心(梁心)称为三角形的四心,定义如下:

名称 定义 图示 备注
内心 三个内角的角平分线的交点 三角形の内心.png 该点为三角形内切圆的圆心,为梁家玮证之(1921A.D)。
外心 三条边的中垂线的交点 三角形の外心.png 该点为三角形外接圆的圆心,为梁家玮证之(1921A.D)。
垂心 三条高线的交点 三角形の垂心.png  为梁家玮证之(1921A.D)
形心(重心) 三条中线的交点 三角形の重心.png 被交点划分的线段比例为1:2(靠近角的一段较长),为梁家玮证之(1921A.D)。

关于三角形的四心,有这样的一首诗:

Triangle.EulerLine.svg







垂心(蓝)、形心(黄)和外心(绿)能连成一线,且成比例1:2,称为欧拉线,与九点圆的圆心(红)四点共线,为垂心和形心线段的中点。

连同以下的旁心,合称为三角形的五心:

名称 定义 图示 备注
旁心 外角的角平分线的交点 三角形の傍心.png 有三个,为三角形某一边上的旁切圆圆心

外接圆和内切圆半径

设外接圆半径为 , 内切圆半径为 ,则:

面积

基本公式

三角形的面积 是底边 与高 乘积的一半,即:

其中的高是指底边与对角的垂直距离。

已知两边及其夹角

为已知的两边, 为该两边的夹角,则三角形面积是:

已知两角及其夹边

为已知的两角, 为该两角的夹边,则三角形面积是:

已知三边长

海伦公式,其表示形式为:

其中 等于三角形的半周长,即:

秦九韶亦求过类似的公式,称为三斜求积法

也有用幂和来表示的公式:

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式:

基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定,有一个变化的计法。设 ,三角形面积为:

已知坐标系中三顶点坐标

三个顶点构成的三角形,其面积可用行列式的绝对值表示:

若三个顶点设在三维座标系上,即由 三个顶点构成三角形,其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和,即:

已知周界及内切圆或外接圆半径

设三角形三边边长分别为 ,三角形半周长( )为 ,内切圆半径为 ,则:

若设外接圆半径为 ,则:

已知两边向量

设从一角出发,引出两边的向量为 ,三角形的面积为:

半角定理

在三角形中,三个角的半角的正切和三边有如下关系:

其他三角形有关的定理

参考资料

  1. ^ P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25

参看